УДК 531.01
М.Н. Кирсанов,
МЭИ(ТУ)
Уравнение трех угловых скоростей и теорема трапеции
Кинематику плоского движения тела в курсе теоретической механики
обычно изучают на примере многозвенных механизмов. Помимо практической
направленности, особенно актуальной в эпоху развития роботостроения, эта
задача имеет и методический интерес. Здесь реализуется одно из основных
старых как мир методических правил - "повторение - мать учения".
Практически одни и те же действия студент выполняет столько раз, сколько
звеньев у механизма. Для вычисления скоростей, например, при этом
традиционно используется несколько приемов (способов): аналитический,
метод нахождения мгновенных центров скоростей, план скоростей. Иногда
применяют геометрический метод - нахождение координат, как функций
времени и дифференцирование их один раз (для скоростей) или два раза (для
ускорений). Можно также использовать теорему о проекциях скоростей
точек на неизменяемый отрезок и теорему о концах векторов скоростей того же
отрезка.
Дополним этот список еще одним способом.
Рассмотрим четырехзвенный механизм 1 (рис.1).
Рис.1
Для угловых скоростей звеньев справедливы уравнения
w1(y2-y1)+w2(y3-y2)+w3(y4-y3)=0, |
| (1) |
w1(x2-x1)+w2(x3-x2)+w3(x4-x3)=0. |
| (2) |
Докажем первое уравнение. Горизонтальный размер c выразим через длины звеньев
l1cosj1+l2cosj2-l3cosj3 = c. |
|
Угол j3 тупой, отсюда знак минус в последнем слагаемом.
Дифференцируя это равенство по времени, получим
-l1sinj1w1-l2sinj2w2+l3sinj3w3 = 0. |
|
Так как l1sinj1 = y2-y1, l2sinj2 = y3-y2,
l3sinj3 = y3-y4, то отсюда следует (1). Точно также
доказывается и второе уравнение.
Дифференцируя (1) и (2) еще раз, получим уравнения трех угловых ускорений
|
e1(x2-x1)+e2(x3-x2)+e3(x4-x3)- |
|
- w12(y2-y1)-w22(y3-y2)-w32(y4-y3)=0, |
|
|
|
| (3) |
|
e1(y2-y1)+e2(y3-y2)+e3(y4-y3)+ |
|
+ w12(x2-x1)+w22(x3-x2)+w32(x4-x3)=0, |
|
|
|
| (4) |
Для расчета четырехзвенного механизма, одна из угловых скоростей которого
обычно задана, необходимо сначала решить систему двух уравнений и двух
неизвестных (1-2), а затем систему (3-4), в которой
должно быть задано
угловое ускорение одного из звеньев (например, e1 = 0).
Как правило, задается e и w одного и того же звена.
При этом задача упрощается, так как определители систем совпадают.
Рис.2
Рис.3
В тех случаях, когда y2=y3, y1=y4 и четырехзвенник
приобретает форму трапеции (рис.2), из уравнений трех угловых скоростей сразу
следуют соотношения
w1 = w3, w2 = w1(1- |
c
b
|
). |
|
Из уравнений трех угловых ускорений при
e1=0
имеем
e3 = w12 |
c(c-b)
bh
|
, e2 = - e3 |
d
b
|
. |
|
Эти соотношения и выражают суть теоремы трапеции.
Если четырехзвенник имеет произвольную форму, отличную от трапеции
(рис.3), то угловые скорости боковых звеньев удовлетворяют простому соотношению
совпадающему по форме с соотношением угловых скоростей в задаче о передаче
вращений.
Из равенства (5) следует метод (альтернативный МЦС и плану скоростей)
расчета скоростей точек механизмов, содержащих
четырехзвенники. Для этого через шарниры четырехзвенника
параллельно среднему звену проводят линии, называемые линиями
шарниров. Размеры h1 и h2 определяются графически или
аналитически. Затем из соотношения (5) определяют неизвестную
угловую скорость. Если линии шарниров лежат по разные стороны
среднего звена ("2-3"), то один из размеров h1 или h2 -
отрицательный, и угловые скорости имеют разный знак.
Примечание:
1три подвижных звена и одно
неподвижное - "земля"
|